คุณสามารถหลบหนีคาสิโน?

ภาพประกอบโดย Guillaume Kurkdjian

ยินดีต้อนรับสู่ The Riddler ทุกสัปดาห์ ฉันเสนอปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรารักที่นี่: คณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และความน่าจะเป็น มีการนำเสนอปริศนาสองอันในแต่ละสัปดาห์: Riddler Express สำหรับผู้ที่ต้องการบางสิ่งบางอย่างและ Riddler Classic สำหรับพวกคุณในการเคลื่อนไหวของปริศนาช้า ส่งคำตอบที่ถูกต้องสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง แล้วคุณอาจได้รับคำวิจารณ์ในคอลัมน์ถัดไป โปรดรอจนถึงวันจันทร์เพื่อแบ่งปันคำตอบของคุณต่อสาธารณะ! หากคุณต้องการคำใบ้หรือมีปริศนาตัวต่อที่ชอบเก็บฝุ่นในห้องใต้หลังคา หาฉันทาง Twitter หรือส่งอีเมลหาฉัน

Riddler Express

เมื่อต้นสัปดาห์นี้ ฉันมีความยินดีที่ได้เข้าร่วมการประชุม MOVES ในนิวยอร์กซิตี้ ซึ่งจัดโดยพิพิธภัณฑ์คณิตศาสตร์แห่งชาติ คำปราศรัยเปิด “How to Invent Puzzles” จัดทำโดย Scott Kim ปรมาจารย์ด้านปริศนา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริศนาไม้เท้าของเขาทำให้ฉันคิด …

เฮกโซมิโนคือรูปทรงที่สร้างจากสี่เหลี่ยมจตุรัสที่ไม่ทับซ้อนกันหกอันที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบ เฮกโซมิโนบางตัว เช่นเดียวกับที่แสดงด้านล่าง สามารถแบ่งออกเป็นอาร์เรย์ของสามสี่เหลี่ยม อาร์เรย์ของสองสี่เหลี่ยม และอาร์เรย์ของหนึ่งตาราง

คุณสามารถหาเฮกโซมิโนที่แตกต่างกันกี่อันที่ไม่สามารถแยกออกเป็นอาร์เรย์ที่มีสาม สอง และหนึ่งช่องสี่เหลี่ยมได้ ตามจุดประสงค์ของปริศนานี้ เฮกโซมิโนสองตัวจะถือว่าเท่ากัน ถ้าสามารถเปลี่ยนเป็นอีกอันได้โดยการหมุนและ/หรือการสะท้อนกลับ

ส่งคำตอบของคุณ

คลาสสิกริดเลอร์

จากแอนดรูว์ หลิน มาถึงเกมเพื่อพาตัวเองกลับบ้าน:

คุณติดอยู่ในคาสิโน (โชคดี!) และจำเป็นต้องซื้อเที่ยวบินกลับบ้าน เที่ยวบินมีราคา 250 เหรียญ แต่ขณะนี้คุณมีเงินเพียง 100 เหรียญเท่านั้น อย่างไรก็ตาม อย่างที่ฉันพูดไป คุณอยู่ในคาสิโน! แน่นอน คุณสามารถเดิมพันได้ถึง 250 ดอลลาร์

คาสิโนมีเกมที่เรียกว่า “Riddler’s Delight” ซึ่งคุณสามารถเดิมพันเงินจำนวนเท่าใดก็ได้ที่คุณครอบครองเพื่อเงินจำนวนมากขึ้น คุณยังสามารถเดิมพันเศษส่วน (เช่น คุณสามารถเดิมพันเศษส่วนของเพนนี) จำนวนเงินที่ไม่ลงตัวหรือจำนวนเล็กน้อยได้หากต้องการ

สิ่งที่จับได้คืออัตราต่อรองไม่อยู่ในความโปรดปรานของคุณ ใน Riddler’s Delight เมื่อใดก็ตามที่คุณเดิมพัน A ดอลลาร์เพื่อพยายามชนะ B ดอลลาร์ (ด้วย q > p) ความน่าจะเป็นที่จะชนะของคุณไม่ใช่ A/B ซึ่งคุณคาดหวังจากเกมที่ยุติธรรม แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นน้อยกว่าเสมอ 10 เปอร์เซ็นต์หรือ 0.9(A/B)

กลยุทธ์การเดิมพันของคุณควรเป็นอย่างไรเพื่อเพิ่มโอกาสในการกลับบ้าน และความน่าจะเป็นนั้นคืออะไร?

ส่งคำตอบของคุณ

วิธีแก้ปัญหา Riddler Express ของสัปดาห์ที่แล้ว

ขอแสดงความยินดีกับ 👏 Michael Jackson 👏 แห่ง Grove City, Pennsylvania ผู้ชนะการแข่งขัน Riddler Express เมื่อสัปดาห์ที่แล้ว

สัปดาห์ที่แล้ว คุณกำลังกลิ้งลูกเต๋าหกด้านที่สวยหรูบนกระดานญ็อกกีที่มีร่องนูน ทำให้ใบหน้าที่อยู่ติดกันสองหน้าปรากฏขึ้นทุกครั้ง

โดยเฉลี่ยแล้ว ตัวเลขที่แสดงบนใบหน้าทั้งสองนั้นรวมกันเป็นเท่าใด

ใบหน้าที่อยู่ติดกันแต่ละคู่มีแนวโน้มเท่าเทียมกันที่จะเป็นสองใบหน้าด้านบน นักแก้ปัญหาบางคนระบุคู่เหล่านี้ทั้งหมด บวกจำนวนใบหน้าที่เกี่ยวข้องเหล่านี้และคำนวณค่าเฉลี่ย

แต่มีอีกวิธีหนึ่งที่มีประสิทธิภาพมากกว่า วิธีหนึ่งที่ใช้โดยนักแก้ปัญหา ซึ่งรวมถึง Kiera Jones จาก Cincinnati รัฐโอไฮโอ แทนที่จะระบุคู่ของใบหน้า คุณอาจคิดถึงขอบระหว่างใบหน้าเหล่านี้แทนเนื่องจากคู่หน้าและขอบแสดงความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

ตอนนี้ลูกบาศก์แต่ละอันมี 12 ขอบ หากคุณต้องการระบุขอบเหล่านี้ออก พร้อมกับใบหน้าสองหน้าที่พวกเขาอยู่ระหว่าง (รวมเป็น 24 ช่องทั้งหมด) ใบหน้าแต่ละหน้าจะปรากฏในรายการสี่ครั้ง ทำไม เพราะด้วยความสมมาตร ไม่มีใบหน้าใดปรากฏในรายการบ่อยหรือมากไปกว่าใบหน้าอื่นๆ

ดังนั้น การคำนวณผลรวมเฉลี่ยของคู่เลขหน้าก็เท่ากับการบวกเลขหน้าทั้งหกสี่ครั้งแล้วหารด้วย 12 และนั่นก็เท่ากับการเพิ่มค่าเฉลี่ยของเลขหน้าหกหน้าเป็นสองเท่า ค่าเฉลี่ยนั้นคือ 3.5 (กล่าวคือ ผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 6 หารด้วย 6) และการเพิ่มเป็นสองเท่าจะได้คำตอบคือ 7

แม้ว่านี่จะไม่ใช่เครดิตพิเศษทางเทคนิคจากสัปดาห์ที่แล้ว แต่นักแก้ปัญหา Benjamin Dickman (รวมถึง Michael Branicky ผู้ส่งปริศนาดั้งเดิม) ได้เสนอการขยายเวลาโดยสรุปใบหน้าที่อยู่ติดกันสามหน้า (แทนที่จะเป็นสองหน้า) ในกรณีนี้ ด้วยอาร์กิวเมนต์สมมาตรที่คล้ายกัน ผลรวมเฉลี่ยถึงสามเท่า 3.5 หรือ 10.5

บางทีส่วนที่เจ๋งที่สุดของปริศนานี้ก็คือการจัดเรียงตัวเลขอย่างแม่นยำบนหน้าทั้งหกกลายเป็นว่าไม่เกี่ยวข้อง ในท้ายที่สุดพวกเขาทั้งหมดก็เฉลี่ยออกมา

วิธีแก้ปัญหา Riddler Classic ของสัปดาห์ที่แล้ว

ขอแสดงความยินดีกับ 👏 Christian Wolters 👏 จากซานโฮเซ่ แคลิฟอร์เนีย ผู้ชนะการแข่งขัน Riddler Classic เมื่อสัปดาห์ที่แล้ว

เมื่อสัปดาห์ที่แล้ว Magritte นักโยนโบว์ลิ่งกำลังแข่งขันแบบตัวต่อตัวกับ Fosse เพื่อนนักโยนโบว์ลิ่ง อย่างไรก็ตาม แทนที่จะล้มหมุด 10 อันที่เรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยม พวกเขากำลังพยายามล้มหมุด N2 (โดยที่ N เป็นจำนวนที่สูงมาก) จัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ดังที่แสดงด้านล่าง:

เมื่อ Magritte กลิ้ง เขามักจะล้มหมุดบนสุดเสมอ จากนั้น หากหมุดใดๆ ถูกทำให้ล้มลง มีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ที่จะล้มหมุดตัวใดตัวหนึ่งจากสองตัวที่อยู่ด้านหลังโดยตรง โดยไม่แยกจากกัน (หากมีหมุดอยู่ด้านหลังเพียงหมุดเดียว โอกาสที่จะถูกกระแทก 50 เปอร์เซ็นต์ก็เช่นกัน)

Fosse เป็นนักขว้างที่เก่งกว่า Magritte เช่นเดียวกับ Magritte เธอมักจะล้มหมุดบนสุดเสมอ แต่หมุดแต่ละอันที่ล้มลงนั้นมีโอกาส 70 เปอร์เซ็นต์ (แทนที่จะเป็น 50 เปอร์เซ็นต์ของ Magritte) ที่จะล้มหมุดด้านหลังโดยตรง

อะไรคือความน่าจะเป็นของ Magritte และ Fosse ในการล้มพินด้านล่างสุดในรูปแบบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน?

เมื่อมองแวบแรก (อย่างน้อยสำหรับผู้อ่านบางคน) สิ่งนี้ดูเหมือนจะตรงไปตรงมา สมมติว่าแต่ละพินมีความน่าจะเป็น p ที่จะเคาะเหนือพินข้างหลัง (เช่น p คือ 0.5 สำหรับ Magritte และ 0.7 สำหรับ Fosse) และลองสมมติเพิ่มเติมความน่าจะเป็นที่หมุดสองตัวที่อยู่ติดกัน A และ B ในแถวเดียวกันถูกกระแทกเป็น a และ b ตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่พิน C ด้านหลังทั้ง A และ B จะถูกกระแทกคืออะไร? ดูเหมือนว่าความน่าจะเป็นที่ C ถูก A ล้มลงในขณะที่ B ยังคงอยู่คือ a(1−b)p; ความน่าจะเป็นที่ C ล้มลงโดย B ขณะที่ A ยังคงอยู่ (1−a)bp; และความน่าจะเป็นที่ C ล้มลงพร้อมกับทั้ง A และ B คือ ab(2p−p2) การเพิ่มความน่าจะเป็นเหล่านี้ทำให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของหมุดแต่ละตัวซ้ำๆ ที่จะถูกล้มโดยพิจารณาจากความน่าจะเป็นทั้งหมดของหมุดที่อยู่ก่อนหน้านั้น ใช่ไหม

ผิด! ข้อผิดพลาดในตรรกะนี้คือถือว่าไม่ถูกต้องว่าพิน A และ B เป็นอิสระ ในความเป็นจริง ถ้า A ล้มลง นั่นหมายความว่าต้องถูกกระแทกโดยหมุดตัวหนึ่งที่อยู่ข้างหน้า รวมทั้งหมุดก่อนหน้าที่ใช้ร่วมกับ B ซึ่งหมายความว่า B มีแนวโน้มที่จะถูกกระแทกมากกว่า ลง. และเนื่องจากการล้มลง A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน นั่นหมายความว่าคุณไม่สามารถคูณความน่าจะเป็นได้เหมือนที่เราทำในย่อหน้าก่อนหน้านี้

เมื่อมันปรากฏออกมา นี่เป็นปัญหาที่แก้ไม่ตกจากสาขาวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงสถิติที่เรียกว่าทฤษฎีการซึมผ่าน ซึ่งตั้งชื่อตามนี้เพราะเราสามารถนึกถึงของไหล (หรือในกรณีนี้คือพินโบว์ลิ่ง) ที่ซึมผ่านสื่อ แม้ว่าฉันจะไม่ได้รับวิธีแก้ปัญหาใดๆ ที่ดูเหมือนว่าจะแก้ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขนี้ ผู้อ่านหลายคนได้จำลองการเล่นโบว์ลิ่งของ Magritte และ Fosse เพื่อใกล้เคียงกับโอกาสในการล้มพินสุดท้าย

ตอนนี้เมื่อ p มีขนาดเล็ก น้ำตกของหมุดที่ตกลงมาก็สิ้นสุดลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่เมื่อ p เกินขีดจำกัดการซึมผ่าน มีโอกาสที่หมุดสุดท้ายอาจถูกกระแทกลง ตามที่ระบุไว้โดยนักแก้ปัญหา Laurent Lessard (ในบทความที่ยอดเยี่ยม!) เกณฑ์การซึมผ่านสำหรับปัญหานี้ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันว่าเกณฑ์อยู่ระหว่าง 0.5176 ถึง 0.6298 (ได้รับการพิสูจน์ตามลำดับในปี 2500 และ 1982)

เนื่องจาก p เท่ากับ 0.5 สำหรับ Magritte ซึ่งต่ำกว่าเกณฑ์การซึมผ่านอย่างแน่นอน นั่นหมายความว่าความน่าจะเป็นที่ Magritte ล้มลงในพินสุดท้ายนั้นเป็นศูนย์ ในขณะเดียวกัน p คือ 0.7 สำหรับ Fosse ซึ่งมากกว่าเกณฑ์การซึมผ่านอย่างแน่นอน ดังนั้น Fosse จึงมีโอกาสที่จะล้มหมุดนั้น! ด้านล่างนี้คือการจำลอง Fosse 15 แบบที่ Laurent แสดงเมื่อ N คือ 100 จาก 15 แบบนี้ 11 แบบดูเหมือนจะส่งผลให้เกิดการซึมผ่านที่ยั่งยืน หากคุณมองดูพวกมันอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นโครงสร้างที่น่าประหลาดใจ — หมุดหมุดที่ไม่ได้ถูกกระแทกด้วยสีน้ำเงินเข้มและกระแสของหมุดที่กระแทกรอบๆ พวกมันไหลซึม

ในที่สุด Laurent ก็พบว่าความน่าจะเป็นของ Fosse ที่จะล้มพินสุดท้ายนั้นอยู่ที่ประมาณ 0.5782 Solver Peter Ji ทำการจำลอง 10,000 ครั้งเมื่อ N คือ 100 (เช่น ใหญ่มาก) พบความน่าจะเป็นประมาณ 0.58 ในขณะที่ Pradeep Niroula นักแก้ปัญหาพบว่ามีค่าประมาณ 0.5828 ในที่สุด ฉันยอมรับคำตอบทั้งหมดสำหรับ Fosse ที่ใกล้เคียงกับ 0.58

นักแก้ปัญหาสองสามคน เช่น Hernando Cortina วางแผนความน่าจะเป็นที่จะล้มพินสุดท้ายด้วยฟังก์ชันของ p:

แน่นอนว่าดูเหมือนว่าจะมีเกณฑ์การซึมผ่านระหว่าง 0.5176 ถึง 0.6298 ซึ่งความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์อีกต่อไป

ต้องการปริศนาเพิ่มเติมหรือไม่?

คุณไม่โชคดีเหรอ? มีหนังสือทั้งเล่มที่เต็มไปด้วยปริศนาที่ดีที่สุดจากคอลัมน์นี้และบางส่วนที่ไม่เคยเห็นมาก่อน มันถูกเรียกว่า “The Riddler” และตอนนี้อยู่ในร้านค้าแล้ว!

ต้องการส่งปริศนา?

อีเมล Zach Wissner-Gross ที่ [email protected]